Задача 7

Условие задачи

Матрица размера $4 \times 3$ имеет элементы $a_{ij} > 0$ при $i = j$ и $a_{ij} < 0$ при $i \ne j$. Докажите, что её столбцы линейно независимы.

Решение задачи

Пусть столбы матрицы $A$ линейно зависимы. Обозначим их через $a_1, \, a_2, \, a_3$.

Поскольку $a_1 \ne 0$ (по условию как минимум $a_{11} > 0$), по лемме о линейной зависимости найдётся номер $k \in \left\{2, 3\right\}$, для которого $a_k$ – линейная комбинация предыдущих столбцов. Разберём оба возможных $k$.

Случай $k = 2$: $a_2 = \lambda a_1$. Рассмотрим покомпонентно $a_{i2} = \lambda a_{i1}$ для каждой строки $i$.

Строка 1: $a_{12} = \lambda a_{11}$. Здесь $a_{12} < 0, \, a_{11} > 0$, поэтому $\lambda = \dfrac{a_{12}}{a_{11}} < 0$.

Строка 3: $a_{32} = \lambda a_{31}$. Здесь $a_{32} < 0, \, a_{31} < 0$, поэтому $\lambda = \dfrac{a_{32}}{a_{31}} > 0$.

Одно и то же число $\lambda$ не может быть одновременно $< 0$ и $> 0$. Противоречие; значит, $a_2 \ne \lambda a_1$ ни при каком $\lambda$.

Случай $k = 3$: $a_3 = \alpha a_1 + \beta a_2$. Рассмотрим покомпонентно $a_{i3} = \alpha a_{i1} + \beta a_{i2}$ для каждой строки $i$.

Строка 1: $a_{13} = \alpha a_{11} + \beta a_{12}$, где $a_{13} < 0, \, a_{11} > 0, \, a_{12} < 0$. Если бы $\alpha \geqslant 0$ и $\beta \leqslant 0$, то $\alpha a_{11} \geqslant 0$ и $\beta a_{12} \geqslant 0$, откуда $a_{13} \geqslant 0$ – противоречие. Значит, неверно, что одновременно $\alpha \geqslant 0$ и $\beta \leqslant 0$. Назовём это ограничением $\left(1\right)$.

Строка 2: $a_{23} = \alpha a_{21} + \beta a_{22}$, где $a_{23} < 0, \, a_{21} < 0, \, a_{22} > 0$. Если бы $\alpha \leqslant 0$ и $\beta \geqslant 0$, то $\alpha a_{21} \geqslant 0$ и $\beta a_{22} \geqslant 0$, откуда $a_{23} \geqslant 0$ – противоречие. Значит, неверно, что одновременно $\alpha \leqslant 0$ и $\beta \geqslant 0$. Назовём это ограничением $\left(2\right)$.

Пусть $\alpha = 0$. Тогда из ограничения $\left(1\right)$ выполнено $\alpha \geqslant 0$, поэтому, чтобы не нарушилось ограничение, его вторая половина должна быть ложной , то есть $\beta \leqslant 0$ ложно – значит $\beta > 0$. Но при $\alpha = 0$ выполнена и первая половина ограничения $\left(2\right)$, тогда по той же логике вторая половина $\left(2\right)$ должна быть ложной, то есть $\beta \geqslant 0$ ложно – значит $\beta < 0$. Получили $\beta > 0$ и $\beta < 0$ одновременно – невозможно. Стало быть, $\alpha \ne 0$.

Пусть $\beta = 0$. Тогда из $\left(1\right)$ должно быть $\alpha \geqslant 0$ ложно – значит $\alpha < 0$. Но и вторая половина ограничения $\left(2\right)$ выполнена, тогда должно быть $\alpha \leqslant 0$ ложно – значит $\alpha > 0$. Вместе $\alpha < 0$ и $\alpha > 0$ – невозможно. Стало быть, $\beta \ne 0$.

Наконец, знаки совпадают. Оба числа ненулевые. Разные знаки исключены: пара $\alpha > 0, \, \beta < 0$ подпадает под $\left(1\right)$, а пара $\alpha < 0, \, \beta > 0$ – под $\left(2\right)$. Остаётся единственная возможность: $\alpha$ и $\beta$ оба положительны либо оба отрицательны, то есть $\alpha\beta > 0$.

Строка 3: $a_{33} = \alpha a_{31} + \beta a_{32}$, где $a_{33} > 0, \, a_{31} < 0, \, a_{32} < 0$. Если бы $\alpha \geqslant 0$ и $\beta \geqslant 0$, то $\alpha a_{31} \leqslant 0$ и $\beta a_{32} \leqslant 0$, откуда $a_{33} \leqslant 0$ – противоречие. Значит, неверно, что одновременно $\alpha \geqslant 0$ и $\beta \geqslant 0$. Назовём это ограничением $\left(3\right)$.

Строка 4: $a_{43} = \alpha a_{41} + \beta a_{42}$, где $a_{43} < 0, \, a_{41} < 0, \, a_{42} < 0$. Если бы $\alpha \leqslant 0$ и $\beta \leqslant 0$, то $\alpha a_{41} \geqslant 0$ и $\beta a_{42} \geqslant 0$, откуда $a_{43} \geqslant 0$ – противоречие. Значит, неверно, что одновременно $\alpha \leqslant 0$ и $\beta \leqslant 0$. Назовём это ограничением $\left(4\right)$.

Пусть $\alpha = 0$. Тогда из $\left(3\right)$ должно быть $\beta \geqslant 0$ ложно – значит $\beta < 0$. Но и первая половина ограничения $\left(4\right)$ выполнена, тогда должно быть $\beta \leqslant 0$ ложно – значит $\beta > 0$. Вместе $\beta < 0$ и $\beta > 0$ – невозможно. Стало быть $\alpha \ne 0$.

Пусть $\beta = 0$. Тогда из $\left(3\right)$ должно быть $\alpha \geqslant 0$ ложно – значит $\alpha < 0$. Но и вторая половина $\left(4\right)$ выполнена, тогда должно быть $\alpha \leqslant 0$ ложно – значит $\alpha > 0$. Вместе $\alpha < 0$ и $\alpha > 0$ – невозможно. Стало быть $\beta \ne 0$.

Наконец, знаки различаются. Оба числа ненулевые. Одинаковые знаки исключены: пара $\alpha > 0, \, \beta > 0$ подпадает под $\left(3\right)$, а пара $\alpha < 0, \, \beta < 0$ – под $\left(4\right)$. Остаётся единственная возможность: $\alpha$ и $\beta$ строго разных знаков, то есть $\alpha\beta < 0$.

Противоречие. Строки 1, 2 дали $\alpha\beta > 0$, строки 3, 4 дали $\alpha\beta < 0$. Одновременно невозможно. Значит $a_3 \ne \alpha a_1 + \beta a_2$ ни при каких $\alpha, \, \beta$.

Ни $k = 2$, ни $k = 3$ невозможны – ни один столбец не выражается через предыдущие. Это противоречит лемме о линейной зависимости. Следовательно, предположение о зависимости ложно: столбцы $a_1, \, a_2, \, a_3$ линейно независимы. $\square$