Задача 22
Условие задачи
Билинейная форма $f(x, y) = x^{\mathrm{T}} A y$ называется невырожденной, если для любого вектора $x$ существует такой вектор $y$, что $f(x, y) \ne 0$. Докажите, что для невырожденности билинейной формы необходима и достаточна обратимость её матрицы $A$.
Решение задачи
См. док-во достаточности в предыдущем решении.
Необходимость же доказывается и прямым ходом – от невырожденности к обратимости, – через строки матрицы. Попутно предъявляется явная матрица $C$ с $CA = I$.
Пусть билинейная форма невырождена.
Обозначим через $r_1, \, \ldots, \, r_n$ строки матрицы $A$.
Как показано в первом решении задачи, невырожденность в точности означает, что строки $r_1, \, \ldots, \, r_n$ матрицы $A$ линейно независимы.
Представим строки $r_1, \, \ldots, \, r_n$ столбцами и составим из них матрицу $R$ порядка $n$, у которой $i$-й столбец – это строка $r_i$, записанная столбцом. Столбцы матрицы $R$ линейно независимы.
Возьмём произвольную строку $u = \begin{bmatrix} u_1 & \ldots & u_n \end{bmatrix}$ длины $n$ и введём для неё столбец $w$ из тех же чисел. По утверждению §2.13 система $Rt = w$ с квадратной матрицей $R$, у которой столбцы линейно независимы, имеет решение при любой правой части. Зафиксируем такое решение $t$.
По §2.2 произведение $Rt$ – это линейная комбинация столбцов матрицы $R$ с коэффициентами $t_1, \, \ldots, \, t_n$, так что $t_1 r_1 + \ldots + t_n r_n = w$. Возвращаясь к строчной записи, получаем
$$u = \sum\limits_{i=1}^n t_i r_i \ \text{.}$$
Строка $u$ бралась произвольной, поэтому для каждой строки длины $n$ найдётся свой вектор размера $n$, дающий её разложение по $r_1, \, \ldots, \, r_n$.
Возьмём в качестве такой строки $e_j^\mathrm{T}$, отличающуюся от нулевой только единицей в $j$-й позиции, т.е. это $j$-я строка единичной матрицы порядка $n$. Обозначим отвечающий ей набор чисел через $c_{j1}, \, \ldots, \, c_{jn}$, где первый индекс означает, какой строке набор отвечает, а второй нумерует коэффициенты внутри набора. Проделав это при каждом $j = 1, \, \ldots, \, n$, получаем:
$$\sum\limits_{i=1}^n c_{ji} r_i = e_j^\mathrm{T}, \quad j = 1, \, \ldots, \, n \ \text{.} \tag{1}$$
Из полученных чисел составим матрицу $C = \begin{bmatrix}c_{ji}\end{bmatrix}$ порядка $n$: в её $j$-й строке стоит набор, отвечающий строке $e_j^\mathrm{T}$.
Проверим, что $CA = I$. Сравним две строки длины $n$ – $j$-ю строку произведения $CA$ и строку $\sum\limits_{i=1}^n c_{ji} r_i$. По правилу «строка на столбец» для первой из них, и по определению линейной комбинации – для второй,
$$\left(CA\right)_{jk} = \sum\limits_{i=1}^n c_{ji} a_{ik} \ \text{,} \\ \left(\sum\limits_{i=1}^n c_{ji} r_i\right)_k = \sum\limits_{i=1}^n c_{ji} \left(r_i\right)_k = \sum\limits_{i=1}^n c_{ji} a_{ik} \ \text{,}$$
т.е. при каждом $k$ это одно и то же число. Значит $j$-я строка матрицы $CA$ совпадает со строкой $\sum\limits_{i=1}^n c_{ji} r_i$, а та по $\left(1\right)$ равна $e_j^\mathrm{T}$. Это верно при каждом $j = 1, \, \ldots, \, n$, т.е. все строки матрицы $CA$ совпали со строками единичной матрицы:
$$CA = I \ \text{.} \ \tag{2}$$
Само по себе равенство $\left(2\right)$ обратимости ещё не даёт: по определению нужна матрица, дающая в произведении с $A$ единичную и слева, и справа. Но линейную независимость столбцов $A$ оно даёт немедленно. Пусть $Az = 0$. Заметим сначала, что $Iz = z$: $i$-я координата столбца $Iz$ равна $\sum\limits_{j=1}^n I_{ij} z_j$, а в $i$-й строке единичной матрицы отлична от нуля лишь единица на $i$-м месте, так что эта сумма равна $z_i$. Теперь по ассоциативности умножения матриц
$$z = Iz = \left(CA\right) z = C \left(Az\right) = C \, 0= 0 \ \text{.}$$
Но $Az$ – это линейная комбинация столбцов матрицы $A$ с коэффициентами $z_1, \, \ldots, \, z_n$. Значит нетривиальной комбинации столбцов, равной нулю, не существует, т.е. столбцы линейно независимы, и по утверждению §2.14 матрица $A$ обратима. $\square$
Попутно выясняется, что построенная матрица $C$ – это и есть $A^{-1}$. Действительно, теперь $A^{-1}$ существует, и $C = CI = C \left(AA^{-1}\right) = \left(CA\right) A^{-1} = IA^{-1} = A^{-1}$.