Задача 20

Условие задачи

Докажите, что любую квадратную вещественную матрицу можно представить в виде суммы двух обратимых матриц.

Решение задачи

Пусть $A = \begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix}$ – произвольная вещественная матрица порядка $n$. Прибавим к $A$ и вычтем матрицу $tI$:

$$A = \left(A+ tI\right) + \left(-tI\right) \ \text{,} \tag{1}$$

и подберём вещественное $t$ так, чтобы оба слагаемых были обратимы. Прибавление $tI$ увеличивает каждый диагональный элемент на $t$, а внедиагональную часть не трогает. Значит, при большом $t$ диагональ станет преобладающей.

Обозначим для каждой строки $i$ сумму модулей её внедиагональных элементов

$$R_i := \sum\limits_{\substack{1 \leqslant j \leqslant n \\ j \ne i}} \left|a_{ij}\right|$$

и возьмём

$$t := 1 + \max\limits_{1 \leqslant i \leqslant n} \left(\left|a_{ii}\right| + R_i\right) \ \text{.}$$

Так как $\left|a_{kk}\right| + R_k \geqslant 0$ при каждом $k$, имеем $t \geqslant 1 > 0$. Далее, для каждой строки $i$ верно $\max\limits_{1 \leqslant k \leqslant n} \left(\left|a_{kk}\right| + R_k\right) \geqslant \left|a_{ii}\right| + R_i$, то есть $t \geqslant 1 + \left|a_{ii}\right| + R_i$, откуда

$$a_{ii} + t \geqslant a_{ii} + 1 + \left|a_{ii}\right| + R_i \geqslant 1 + R_i > R_i \geqslant 0$$

(во втором неравенстве использовано $a_{ii} + \left|a_{ii}\right| \geqslant 0$).

Матрица $A + tI$ обратима. Её внедиагональные элементы совпадают с элементами $A$, а на диагонали стоит $a_{ii} + t$. Из $a_{ii} + t > R_i \geqslant 0$ следует $a_{ii} + t > 0$, поэтому $\left|a_{ii} + t\right| = a_{ii} + t$, и для каждой строки

$$\left|\left(A + tI\right)_{ii}\right| = a_{ii} + t > R_i = \\ = \sum\limits_{\substack{1 \leqslant j \leqslant n \\ j \ne i}} \left|\left(A + tI\right)_{ij}\right| \ \text{.}$$

Модуль диагонального элемента строго больше суммы модулей остальных элементов строки – это диагональное преобладание по строкам, а любая матрица с диагональным преобладанием по строкам обратима, значит $A + tI$ обратима.

Матрица $-tI$ обратима. Она подпадает под тот же признак. Её диагональные элементы равны $-t$, а все внедиагональные – нули, поэтому для каждой строки

$$\left|\left(-tI\right)_{ii}\right| = \left|-t\right| = t > 0 = \sum\limits_{\substack{1 \leqslant j \leqslant n \\ j \ne i}} \left|\left(-tI\right)_{ij}\right| \ \text{.}$$

Снова диагональное преобладание по строкам, и $-tI$ обратима. Обратная к ней, впрочем, видна и непосредственно: это $-t^{-1} I$.

Итак, в $\left(1\right)$ оба слагаемых обратимы, то есть матрица $A$ представлена суммой двух обратимых матриц. $\square$