Задача 20

Условие задачи

Докажите, что любую квадратную вещественную матрицу можно представить в виде суммы двух обратимых матриц.

Решение задачи

Пусть $A$ – произвольная вещественная матрица порядка $n$, а $I$ – единичная матрица того же порядка.

По предыдущей задаче обратимая матрица, к которой прибавлена малая добавка $\varepsilon \cdot B$, где $B$ – произвольная матрица того же порядка, остаётся обратимой при всех достаточно малых по модулю $\varepsilon$.

Применим это к обратимой $I$ ($I^2 = I$, то есть $I$ обратна самой себе) и произвольной $A$: найдётся такое $\delta > 0$, что матрица $I + \varepsilon A$ обратима при всех $\left|\varepsilon\right| < \delta$. Зафиксируем любое вещественное $\varepsilon$ с $0 < \left|\varepsilon\right| < \delta$; оно ненулевое, и $I + \varepsilon A$ обратима.

Понадобится ещё простое наблюдение: умножение обратимой матрицы на ненулевое число сохраняет обратимость. Действительно, если $M$ обратима и $\lambda \ne 0$, то обратной к $\lambda M$ служит $\lambda^{-1} M^{-1}$, ведь

$$\left(\lambda M\right) \left(\lambda^{-1} M^{-1}\right) = \lambda \lambda^{-1} M M^{-1} = I \ \text{,} \\ \left(\lambda^{-1} M^{-1}\right) \left(\lambda M\right) = \lambda^{-1} \lambda M^{-1} M = I \ \text{.}$$

Остаётся превратить $A$ в сумму. Так как $\varepsilon \ne 0$, определено $\varepsilon^{-1}$ и $\varepsilon^{-1} \left(I + \varepsilon A\right) = \varepsilon^{-1} I + A$; перенося $\varepsilon^{-1} I$, получаем

$$A = \varepsilon^{-1} \left(I + \varepsilon A\right) + \left(-\varepsilon^{-1} I \right) \ \text{.} \tag{1}$$

В правой части оба слагаемых обратимы: $\varepsilon^{-1} \left(I + \varepsilon A\right)$ – это обратимая $I + \varepsilon A$, умноженная на ненулевое число $\varepsilon^{-1}$, а $-\varepsilon^{-1} I$ – обратимая $I$, умноженная на ненулевое число $-\varepsilon^{-1}$. Значит $\left(1\right)$ представляет $A$ суммой двух обратимых матриц. $\square$