Задача 19

Условие задачи

Матрица $A$ обратима, а $B$ – произвольная матрица такого же порядка. Докажите, что матрицы $A + \varepsilon B$ обратимы при всех вещественных $\varepsilon$, достаточно малых по модулю.

Решение задачи

Пусть $A$ – обратимая матрица порядка $n$, $B$ – произвольная матрица того же порядка, а $\varepsilon$ – вещественный параметр.

Если $B = 0$, то $A + \varepsilon B = A$ обратима при всех $\varepsilon$. Далее считаем $B \ne 0$.

Так как $A$ обратима, определена $C := A^{-1}B$, и

$$A + \varepsilon B = A \left(I + \varepsilon A^{-1}B\right) = A \left(I + \varepsilon C\right) \ \text{.} \tag{1}$$

Матрица $A$ обратима, произведение обратимых матриц обратимо (§2.14), поэтому достаточно доказать обратимость сомножителя $I + \varepsilon C$ при малых $\left|\varepsilon\right|$. Заметим ещё, что $C \ne 0$: иначе $B = AC = 0$ вопреки $B \ne 0$.

Обозначим $C = \left(c_{ij}\right)$. Элементы матрицы $D := I + \varepsilon C$ таковы: на диагонали $d_{ii} = 1 + \varepsilon c_{ii}$, а вне её $d_{ij} = \varepsilon c_{ij}$.

Число $1 + \varepsilon c_{ii}$ отстоит от единицы на малую добавку $\varepsilon c_{ii}$. Применим неравенство треугольника $\left|a + b\right| \leqslant \left|a\right| + \left|b\right|$ к единице, разложенной как $1 = \left(1 + \varepsilon c_{ii}\right) + \left(-\varepsilon c_{ii}\right)$:

$$1 = \left|\left(1 + \varepsilon c_{ii}\right) + \left(-\varepsilon c_{ii}\right)\right| \leqslant \left|1 + \varepsilon c_{ii}\right| + \left|\varepsilon c_{ii}\right| \text{.}$$

Перенося $\left|\varepsilon c_{ii}\right| = \left|\varepsilon\right| \left|c_{ii}\right|$ в другую часть, получаем оценку диагонали снизу:

$$\left|d_{ii}\right| = \left|1 + \varepsilon c_{ii}\right| \geqslant 1 - \left|\varepsilon\right| \left|c_{ii}\right| . \tag{2}$$

Иными словами, модуль диагонального элемента $d_{ii}$ не опускается ниже, чем единица за вычетом модуля самой добавки $\left|\varepsilon c_{ii}\right| = \left|\varepsilon\right| \left|c_{ii}\right|$. С внедиагональными элементами проще: каждый равен $d_{ij} = \varepsilon c_{ij}$, откуда $\left|d_{ij}\right| = \left|\varepsilon\right| \left|c_{ij}\right|$, так что суммарный модуль остальной части строки равен

$$\sum\limits_{\substack{1 \leqslant j \leqslant n \\ j \ne i}} \left|d_{ij}\right| = \sum\limits_{\substack{1 \leqslant j \leqslant n \\ j \ne i}} \left|\varepsilon c_{ij}\right| = \sum\limits_{\substack{1 \leqslant j \leqslant n \\ j \ne i}} \left|\varepsilon\right| \left|c_{ij}\right| = \left|\varepsilon\right| \sum\limits_{\substack{1 \leqslant j \leqslant n \\ j \ne i}} \left|c_{ij}\right| \text{.} \tag{3}$$

Диагональное преобладание в строке $i$ означает, что $\left|d_{ii}\right| > \sum\limits_{\substack{1 \leqslant j \leqslant n \\ j \ne i}} \left|d_{ij}\right|$. Оценим эту разность снизу, пользуясь $\left(2\right)$ и $\left(3\right)$:

$$\left|d_{ii}\right| - \sum\limits_{\substack{1 \leqslant j \leqslant n \\ j \ne i}} \left|d_{ij}\right| \geqslant \left(1 - \left|\varepsilon\right| \left|c_{ii}\right|\right) - \left|\varepsilon\right| \sum\limits_{\substack{1 \leqslant j \leqslant n \\ j \ne i}} \left|c_{ij}\right| = \\ = 1 - \left|\varepsilon\right| \left(\left|c_{ii}\right| + \sum\limits_{\substack{1 \leqslant j \leqslant n \\ j \ne i}} \left|c_{ij}\right|\right) = 1 - \left|\varepsilon\right| \sum\limits_{j=1}^n \left|c_{ij}\right| \text{.}$$

Правая часть положительна ровно тогда, когда $\left|\varepsilon\right| \sum\limits_{j=1}^n \left|c_{ij}\right| < 1$. Чтобы добиться этого сразу для всех строк, введём наибольшую строчную сумму модулей

$$M := \max\limits_{1 \leqslant i \leqslant n} \sum\limits_{j=1}^n \left|c_{ij}\right| \text{.}$$

Так как $C \ne 0$, хотя бы один $c_{ij} \ne 0$, поэтому $M > 0$. Все строчные суммы не превосходят $M$, поэтому достаточно совладать с самой тяжёлой строкой, то есть потребовать

$$\left|\varepsilon\right| < \dfrac{1}{M} \ \text{.}$$

При выполнении этого требования для каждой строки $\left|\varepsilon\right| \sum\limits_{j=1}^n \left|c_{ij}\right| \leqslant \left|\varepsilon\right| M < 1$, а тогда выписанная разность строго положительна:

$$\left|d_{ii}\right| > \sum\limits_{\substack{1 \leqslant j \leqslant n \\ j \ne i}} \left|d_{ij}\right|, \quad i = 1, \, 2, \, \ldots, \, n \ \text{,}$$

то есть матрица $D = I + \varepsilon C$ имеет диагональное преобладание по строкам.

А по теореме о диагональном преобладании из §2.15 всякая матрица с диагональным преобладанием по строкам обратима; поэтому $D = I + \varepsilon C$ обратима.

Возвращаясь к $\left(1\right)$: при $\left|\varepsilon\right| < \dfrac{1}{M}$ сомножитель $I + \varepsilon C$ обратим, а вместе с ним обратимо и произведение $A \left(I + \varepsilon C\right) = A + \varepsilon B$. Тем самым $A + \varepsilon B$ обратима при всех вещественных $\varepsilon$ с $\left|\varepsilon\right| < \dfrac{1}{M}$ – то есть при всех достаточно малых по модулю $\varepsilon$. $\square$