Задача 17

Условие задачи

Докажите, что для любых квадратных матриц $A$ и $B$ одного и того же порядка имеет место равенство

$$\begin{bmatrix} I & A & 0 \\ 0 & I & B \\ 0 & 0 & I \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} I & -A & AB \\ 0 & I & -B \\ 0 & 0 & I \end{bmatrix} \text{.}$$

Решение задачи

Пусть $A$ и $B$ – квадратные матрицы одного и того же порядка $n$. Рассмотрим матрицы

$$M = \begin{bmatrix} I & A & 0 \\ 0 & I & B \\ 0 & 0 & I \end{bmatrix}, \quad N = \begin{bmatrix} I & -A & AB \\ 0 & I & -B \\ 0 & 0 & I \end{bmatrix} \text{,}$$

где $I$ и $0$ – единичная и нулевая матрицы порядка $n$. Обе матрицы имеют блочную структуру $3 \times 3$, где каждый блок – матрица $n \times n$; тем самым все блоки согласованы по размерам, и блочные произведения корректны. Блочные матрицы перемножаются по правилу «блочная строка на блочный столбец»: если обозначить блоки через $M_{il}$ и $N_{lj}$, то

$$\left(MN\right)_{ij} = \sum\limits_{l=1}^3 M_{il} N_{lj} \ \text{,} \tag{1}$$

$$\left(NM\right)_{ij} = \sum\limits_{l=1}^3 N_{il} M_{lj} \ \text{,} \tag{2}$$

Порядок множителей в блоках сохраняем: матрицы $A$ и $B$, вообще говоря, не перестановочны, поэтому переставлять их нельзя.

Вычислим сначала $MN$ по формуле $\left(1\right)$, выписывая все девять блоков:

$$\begin{align*} & \left(MN\right)_{11} = I \cdot I + A \cdot 0 + 0 \cdot 0 = I \ \text{,} \\ & \left(MN\right)_{12} = I \cdot \left(-A\right) + A \cdot I + 0 \cdot 0 = -A + A = 0 \ \text{,} \\ & \left(MN\right)_{13} = I \cdot \left(AB\right) + A \cdot \left(-B\right) + 0 \cdot I = AB - AB = 0 \ \text{,} \\ & \left(MN\right)_{21} = 0 \cdot I + I \cdot 0 + B \cdot 0 = 0 \ \text{,} \\ & \left(MN\right)_{22} = 0 \cdot \left(-A\right) + I \cdot I + B \cdot 0 = I \ \text{,} \\ & \left(MN\right)_{23} = 0 \cdot \left(AB\right) + I \cdot \left(-B\right) + B \cdot I = -B + B = 0 \ \text{,} \\ & \left(MN\right)_{31} = 0 \cdot I + 0 \cdot 0 + I \cdot 0 = 0 \ \text{,} \\ & \left(MN\right)_{32} = 0 \cdot \left(-A\right) + 0 \cdot I + I \cdot 0 = 0 \ \text{,} \\ & \left(MN\right)_{33} = 0 \cdot \left(AB\right) + 0 \cdot \left(-B\right) + I \cdot I = I \ \text{.} \end{align*}$$

Таким образом,

$$MN = \begin{bmatrix} I & 0 & 0 \\ 0 & I & 0 \\ 0 & 0 & I \end{bmatrix} = I_{3n} \ \text{,} \tag{3}$$

где $I_{3n}$ – единичная матрица порядка $3n$.

Одного равенства $MN = I_{3n}$ ещё недостаточно, чтобы назвать $N$ обратной к $M$: по определению обратная матрица – это такая матрица $N$, для которой оба произведения $MN$ и NM равны единичной. Поэтому проверим и второе произведение $NM$ по формуле $\left(2\right)$:

$$\begin{align*} & \left(NM\right)_{11} = I \cdot I + \left(-A\right) \cdot 0 + \left(AB\right) \cdot 0 = I \ \text{,} \\ & \left(NM\right)_{12} = I \cdot A + \left(-A\right) \cdot I + \left(AB\right) \cdot 0 = A - A = 0 \ \text{,} \\ & \left(NM\right)_{13} = I \cdot 0 + \left(-A\right) \cdot B + \left(AB\right) \cdot I = -AB + AB = 0 \ \text{,} \\ & \left(NM\right)_{21} = 0 \cdot I + I \cdot 0 + \left(-B\right) \cdot 0 = 0 \ \text{,} \\ & \left(NM\right)_{22} = 0 \cdot A + I \cdot I + \left(-B\right) \cdot 0 = I \ \text{,} \\ & \left(NM\right)_{23} = 0 \cdot 0 + I \cdot B + \left(-B\right) \cdot I = B - B = 0 \ \text{,} \\ & \left(NM\right)_{31} = 0 \cdot I + 0 \cdot 0 + I \cdot 0 = 0 \ \text{,} \\ & \left(NM\right)_{32} = 0 \cdot A + 0 \cdot I + I \cdot 0 = 0 \ \text{,} \\ & \left(NM\right)_{33} = 0 \cdot 0 + 0 \cdot B + I \cdot I = I \ \text{.} \end{align*}$$

Таким образом,

$$NM = \begin{bmatrix} I & 0 & 0 \\ 0 & I & 0 \\ 0 & 0 & I \end{bmatrix} = I_{3n} \ \text{.} \tag{4}$$

Из $\left(3\right)$ и $\left(4\right)$ следует, что $MN = NM = I_{3n}$. По определению обратной матрицы это и означает, что $M$ обратима, а её обратной служит именно $N$. Следовательно,

$$\begin{bmatrix} I & A & 0 \\ 0 & I & B \\ 0 & 0 & I \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} I & -A & AB \\ 0 & I & -B \\ 0 & 0 & I \end{bmatrix} \ \text{.} \quad \square$$

Замечание. Формулу из условия не приходится угадывать. Если записать $M = I_{3n} + U$ с

$$U = \begin{bmatrix} 0 & A & 0 \\ 0 & 0 & B \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}, \quad U^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & AB \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad U^3 = 0 \ \text{,}$$

то $I - U + U^2$ как раз равно $N$, и тождества $\left(I + U\right) \left(I - U + U^2\right) = I - U^3 = I$ и $\left(I -U + U^2\right) \left(I + U\right) = I - U^3 = I$ дают тот же результат: блоки $-A$, $-B$ и $AB$ подобраны так, чтобы при перемножении взаимно уничтожаться.