Задача 17

Условие задачи

Докажите, что для любых квадратных матриц $A$ и $B$ одного и того же порядка имеет место равенство

$$\begin{bmatrix} I & A & 0 \\ 0 & I & B \\ 0 & 0 & I \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} I & -A & AB \\ 0 & I & -B \\ 0 & 0 & I \end{bmatrix}$$

Решение задачи

Пусть $A$ и $B$ — квадратные матрицы одного и того же порядка $n$.

Рассмотрим матрицы $M = \begin{bmatrix} I & A & 0 \\ 0 & I & B \\ 0 & 0 & I \end{bmatrix}$ и $N = \begin{bmatrix} I & -A & AB \\ 0 & I & -B \\ 0 & 0 & I \end{bmatrix}$.

Обе матрицы имеют блочную структуру $3 \times 3$, где каждый блок — матрица $n \times n$. Таким образом, все блоки согласованы по размерам, произведение $MN$ корректно и вычисляется по формуле $\left(MN\right)_{ij} = \sum\limits_{l=1}^3 M_{il} N_{lj}$.

Обозначим $C = MN$. Тогда $C_{ij} = \sum\limits_{l=1}^3 M_{il} N_{lj}$.

Получаем:

$$\begin{align*} & C_{11} = M_{11}N_{11} + M_{12}N_{21} + M_{13}N_{31} = I \cdot I + A \cdot 0 + 0 \cdot 0 = I \\ & C_{12} = M_{11}N_{12} + M_{12}N_{22} + M_{13}N_{32} = I \cdot \left(-A\right) + A \cdot I + 0 \cdot 0 = -A + A = 0 \\ & C_{13} = M_{11}N_{13} + M_{12}N_{23} + M_{13}N_{33} = I \cdot \left(AB\right) + A \cdot \left(-B\right) + 0 \cdot I = AB - AB = 0 \\ & C_{21} = M_{21}N_{11} + M_{22}N_{21} + M_{23}N_{31} = 0 \cdot I + I \cdot 0 + B \cdot 0 = 0 \\ & C_{22} = M_{21}N_{12} + M_{22}N_{22} + M_{23}N_{32} = 0 \cdot \left(-A\right) + I \cdot I + B \cdot 0 = I \\ & C_{23} = M_{21}N_{13} + M_{22}N_{23} + M_{23}N_{33} = 0 \cdot \left(AB\right) + I \cdot \left(-B\right) + B \cdot I = -B + B = 0 \\ & C_{31} = M_{31}N_{11} + M_{32}N_{21} + M_{33}N_{31} = 0 \cdot I + 0 \cdot 0 + I \cdot 0 = 0 \\ & C_{32} = M_{31}N_{12} + M_{32}N_{22} + M_{33}N_{32} = 0 \cdot \left(-A\right) + 0 \cdot I + I \cdot 0 = 0 \\ & C_{33} = M_{31}N_{13} + M_{32}N_{23} + M_{33}N_{33} = 0 \cdot \left(AB\right) + 0 \cdot \left(-B\right) + I \cdot I = I \end{align*}$$

Мы получили $MN = \begin{bmatrix} I & 0 & 0 \\ 0 & I & 0 \\ 0 & 0 & I \end{bmatrix} = I_{3n}$. Здесь $I_{3n}$ — единичная матрица порядка $3n$.

Докажем вспомогательное утверждение:

Пусть $M$ и $N$ — квадратные матрицы порядка $n$ и выполнено равенство $MN = I$. Равенство $MN = I$ означает, что для каждого $j \in \left\{1, \, \ldots, \, n\right\}$ выполнено $M n_j = e_j$, где $n_j$ — $j$-й столбец матрицы $N$, а $e_j$ — $j$-й стандартный базисный столбец. Следовательно, для каждого $j$ система $Mx = e_j$ совместна и имеет по крайней мере одно решение, а именно $x = n_j$. Рассмотрим теперь произвольный столбец $b \in \mathbb{R}^n$. Так как $b = b_1 e_1 + \ldots + b_n e_n$, то, используя линейность умножения матрицы на вектор, получаем $M \left(b_1 n_1 + \ldots + b_n n_n\right) = b_1 M n_1 + \ldots b_n M n_n = b_1 e_1 + \ldots + b_n e_n = b$. Следовательно, система $Mx = b$ совместна для любого правого столбца $b$. Покажем, что решение этой системы единственно. Пусть $Mx = 0$. Тогда, подставляя $b = 0$ в предыдущий вывод, получаем $x = 0$. Следовательно, однородная система $Mx = 0$ имеет только нулевое решение. Отсюда следует, что столбцы матрицы $M$ линейно независимы, а значит матрица $M$ обратима, то есть существует матрица $M^{-1}$ такая что $M^{-1} M = M M^{-1} = I$. Домножим равенство $MN = I$ слева на $M^{-1}$: $M^{-1} \left(MN\right) = M^{-1} I$. По ассоциативности умножения матриц: $\left(M^{-1} M\right) N = M^{-1}$. Так как $M^{-1} M = I$, получаем: $IN = M^{-1}$. Откуда $N = M^{-1}$. Таким образом, из условия $MN = I$ следует, что матрица $M$ обратима, и матрица $N$ совпадает с её обратной. Вспомогательное утверждение доказано.

Из вспомогательного утверждения, $\begin{bmatrix} I & A & 0 \\ 0 & I & B \\ 0 & 0 & I \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} I & -A & AB \\ 0 & I & -B \\ 0 & 0 & I \end{bmatrix}$. $\square$