Задача 13

Условие задачи

В квадратной матрице элементы главной диагонали равны $2$, элементы соседних диагоналей равны $-1$, а все остальные элементы равны $0$. Докажите, что матрица является обратимой.

Решение задачи

Рассматривается квадратная матрица порядка $n$ вида:

$$A_n = \begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 & \ldots & 0 \\ -1 & 2 & -1 & \ddots & \vdots \\ 0 & -1 & 2 & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & -1 \\ 0 & \ldots & 0 & -1 & 2 \end{bmatrix}, \\ a_{ij} = \begin{cases}2 ,& j=i \\ -1 ,& \left|i - j\right| = 1 \\ 0 ,& \left|i - j\right| \geqslant 2\end{cases} \ \text{.}$$

Квадратная матрица обратима в точности тогда, когда однородная система $Ax = 0$ имеет только нулевое решение (§2.14).

Возьмём произвольный столбец $x = \left(x_1, \, \ldots, \, x_n\right)$ с $Ax = 0$ и докажем, что он нулевой. Поэлементно система $Ax = 0$ выглядит так:

$$\begin{cases} 2x_1 - x_2 = 0 \\ -x_{i-1} + 2x_i - x_{i+1} = 0 ,& \left(2 \leqslant i \leqslant n - 1\right) \\ -x_{n-1} + 2x_n = 0 \end{cases} \ \text{.}$$

Введём два вспомогательных значения $x_0 := 0$ и $x_{n+1} := 0$. Тогда первое уравнение $2x_1 = x_2$ записывается как $2x_1 = x_0 + x_2$, а последнее $2x_n = x_{n-1}$ – как $2x_n = x_{n-1} + x_{n+1}$. Значит, для всех $i = 1, \, \ldots, \, n$ одновременно выполнено одно и то же соотношение

$$2x_i = x_{i-1} + x_{i+1} \ \text{.}$$

Перепишем соотношение $2x_i = x_{i-1} + x_{i+1}$ так, чтобы слева и справа оказались разности соседних координат: вычтя из обеих частей $x_i + x_{i-1}$, получаем

$$x_i - x_{i-1} = x_{i+1} - x_i \ \text{.}$$

Обозначим разность соседних координат через $d_i := x_i - x_{i-1}$; она определена для $i = 1, \, \ldots, \, n+1$, поскольку в неё входят значения от $x_0$ до $x_{n+1}$. Подставив в это определение $i+1$ вместо $i$, имеем $d_{i+1} = x_{i+1} - x_i$. Теперь сравним обе части последнего равенства с определением $d$: его правая часть $x_{i+1} - x_i$ – это в точности $d_{i+1}$, а левая часть $x_i - x_{i-1}$ – это $d_i$. Значит,

$$d_{i+1} = d_i \ \text{.}$$

Это верно для каждого $i = 1, \, \ldots, \, n$ (именно при этих $i$ выполнено исходное уравнение $2x_i = x_{i-1} + x_{i+1}$). Выпишем эти $n$ равенств по отдельности:

$$d_2 = d_1, \quad d_3 = d_2, \quad d_4 = d_3, \quad \ldots, \quad d_{n+1} = d_n \ \text{.}$$

Свяжем их по цепочке, пользуясь транзитивностью равенства:

$$d_1 = d_2 = \ldots = d_{n+1} \ \text{.}$$

Итак, все разности равны между собой; их общее значение обозначим через $d$.

Сложим все разности:

$$\sum\limits_{i=1}^{n+1} d_i = \sum\limits_{i=1}^{n+1} \left(x_i - x_{i-1}\right) = \sum\limits_{i=1}^{n+1} x_i - \sum\limits_{i=1}^{n+1} x_{i-1} = \\ = \sum\limits_{i=1}^{n+1} x_i - \sum\limits_{i=0}^{n} x_i = x_{n+1} - x_0 \ \text{.}$$

Но $x_0 = x_{n+1} = 0$ по определению, поэтому эта сумма равна нулю. Это с одной стороны, а с другой все $d_i$ равны одному и тому же числу $d$, а всего их $n + 1$, поэтому та же сумма равна

$$\sum\limits_{i=1}^{n+1} d_i = \sum\limits_{i=1}^{n+1} d = \left(n+1\right) d \ \text{.}$$

Приравнивая оба выражения для одной и той же суммы, получаем $\left(n + 1\right) d = 0$. Так как $n + 1 \geqslant 1$ – множитель, отличный от нуля, – отсюда $d = 0$.

При $d = 0$ все соседние элементы равны: $x_i = x_{i-1} + d = x_{i-1}$. Спускаясь до $x_0 = 0$, получаем

$$x_i = x_0 + i d \quad \left(i = 1, \, \ldots, \, n\right) \ \text{.}$$

Итак, $Ax = 0$ влечёт $x = 0$ – система имеет только нулевое решение. Значит, столбцы матрицы линейно независимы, тогда по утверждению из §2.14 матрица $A$ обратима. $\square$