Задача 12

Условие задачи

Докажите, что из линейной независимости столбцов квадратной матрицы вытекает линейная независимость её строк.

Решение задачи

Пусть $A$ — квадратная матрица порядка $n$. По условию столбцы матрицы $A$ линейно независимы. Согласно утверждению из учебника, это необходимо и достаточно для обратимости матрицы. Следовательно, матрица $A$ обратима, т.е. существует матрица $A^{-1}$, такая что $AA^{-1} = I$.

Предположим противное: строки матрицы A линейно зависимы. Тогда существуют числа $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$, не все равные нулю, такие что линейная комбинация строк матрицы $A$ равна нулю: $\lambda_1 r_1 + \lambda_2 r_2 + \ldots + \lambda_n r_n = 0$, где $r_i$ — $i$-я строка матрицы $A$.

Каждая строка имеет вид r$_i = \left(a_{i1}, \, a_{i2}, \, \ldots, \, a_{in}\right)$.

Тогда $\lambda_1 r_1 + \lambda_2 r_2 + \ldots + \lambda_n r_n = 0 \Leftrightarrow \lambda_1 \left(a_{11}, \, a_{12}, \, \ldots, \, a_{1n}\right) + \lambda_2 \left(a_{21}, \, a_{22}, \, \ldots, \, a_{2n}\right) + \ldots + \lambda_n \left(a_{n1}, \, a_{n2}, \, \ldots, \, a_{nn}\right) = 0$.

Левая часть равенства равна вектору $\left(\lambda_1 a_{11} + \lambda_2 a_{21} + \ldots + \lambda_n a_{n1}, \, \ldots, \, \lambda_1 a_{1n} + \lambda_2 a_{2n} + \ldots + \lambda_n a_{nn}\right)$.

По определению, два вектора в $\mathbb{R}^n$ равны тогда и только тогда, когда равны все их элементы: $\left(x_1, \, \ldots, \, x_n\right) = \left(0, \ldots, 0\right) \Leftrightarrow x_1 = 0, \, \ldots, \,x_n = 0$.

Т.е. равенство нулю означает, что для каждого номера столбца $j = 1, \ldots, n$ выполнено:

$$\lambda_1 a_{1j} + \lambda_2 a_{2j} + \ldots + \lambda_n a_{nj} = 0 \tag{1}$$

Рассмотрим вектор $\lambda = \left(\lambda_1, \, \lambda_2, \, \ldots, \, \lambda_n\right)^{\mathrm{T}} \neq 0$ и произведение $A \lambda$. По определению умножения $j$-й элемент произведения равен $\left(A \lambda\right)_j = \sum\limits_{i=1}^n a_{ji} \lambda_i$.

Но равенства $\left(1\right)$ означают, что каждый элемент этого вектора равен нулю. Следовательно,

$$A \lambda = 0 \text{,} \tag{2}$$

причём $\lambda \neq 0$.

Домножаем $\left(2\right)$ слева на $A^{-1}$: $A^{-1} \left(A \lambda\right) = A^{-1} 0$. По ассоциативности умножения матриц: $\left(A^{-1} A\right) \lambda = 0$.

Т.к. $A^{-1} A = I$, получаем $\lambda = 0$. Но по предположению $\lambda \neq 0$. Получаем противоречие. Следовательно, строки матрицы $A$ линейно независимы. $\square$