Задача 12

Условие задачи

Докажите, что из линейной независимости столбцов квадратной матрицы вытекает линейная независимость её строк.

Решение задачи

Пусть $A$ — квадратная матрица порядка $n$ с линейно независимыми столбцами. Поэтому по критерию §2.14 матрица $A$ обратима: существует $A^{-1}$ с

$$AA^{-1} = A^{-1} A = I \ \text{.}$$

Возьмём строку коэффициентов $u = \begin{bmatrix}u_1 & u_2 & \ldots & u_n\end{bmatrix}$ (матрица размера $1 \times n$). Линейная комбинация строк $r_1, \, \ldots, \, r_n$ с этими коэффициентами – строка, $j$-я компонента которой равна

$$\left(\sum\limits_{i=1}^n u_i r_i\right)_j = \sum\limits_{i=1}^n u_i a_{ij} \ \text{.}$$

С другой стороны, произведение $uA$ (матрица размера $1 \times n$) по определению умножения «строка на столбец» (§1.2) имеет $j$-ю компоненту

$$\left(uA\right)_j = \sum\limits_{i=1}^n u_i a_{ij} \ \text{.}$$

Правые части совпадают при каждом $j$, поэтому

$$\sum\limits_{i=1}^n u_i r_i = uA \ \text{.}$$

Следовательно, «строки $r_1, \, \ldots, \, r_n$ линейно независимы» означает: равенство $uA = 0$ ($0$ – нулевая строка) выполнимо лишь при $u = 0$.

Пусть $uA = 0$. Умножим это равенство справа на $A^{-1}$ и воспользуемся ассоциативностью умножения и $AA^{-1} = I$:

$$u = uI = u \left(AA^{-1}\right) = \left(uA\right) A^{-1} = 0 \cdot A^{-1} = 0 \ \text{.}$$

Итак, единственная строка $u$ с $uA = 0$ – нулевая. Выше было сказано, что это и значит, что строки $r_1, \, \ldots, \, r_n$ линейно независимы. $\square$